Vissza 
Cantor hatványhalmaz tételének kritikája
V1.39
© Geier János, 2004.03.28.
Utolsó módosítás: 2008.11.12.
email: janos@geier.hu,  http://www.geier.hu
Minden jog fenntartva. Ez az írás a szerző írásbeli beleegyezése nélkül nem másolható, 
nem sokszorosítható, nem terjeszthető, sem részben, sem egészben. 
Az oldal linkelhető.
Idézés esetén az irodalmi hivatkozások szabályainak betartása szigorú követelmény.

Az alábbi gondolatmenet azt bizonyítja be, hogy a Cantor tétel szokásos, tankönyvi levezetése hibás. 
Ha úgy gondolod, hogy Cantor tétel levezetése hibátlan, akkor keresd meg a hibát a cáfolat gondolatmenetében! 
A Cantor tétel
Tétel: (Cantor hatványhalmaz tétele) Tetszőleges nemüres M halmaz nem ekvivalens a H=2M hatványhalmazával.
Bizonyítás: (a jól ismert tankönyvi verziók rekonstrukciója)
Tegyük fel indirekte, hogy M ekvivalens H-val, azaz, hogy 
(1)                                                                             létezik  B: M ® H  bijektív leképezés.
Tekintsük a H hatványhalmaznak azt a T elemét, melynek pontosan azok az M halmazbeli x elemek elemei, melyekhez rendelt B(x) halmaz nem tartalmazza elemként x-et, azaz  TÎH  tegyen eleget a
(2)                                                                        "xÎM  [xÎT Û Ø xÎB(x)]
követelménynek (Û  az 'ekvivalencia' logikai műveletet, Ø a 'negáció' logikai műveletet jelöli.)
Az (1) feltétel  miatt létezik t Î M, melyre B(t) = T, azaz 
(3)                                                   tÎT  [B(t) = T].
A (2) és (3) kétszeri felhasználásával kapjuk: 
(4)       ha [tÎT] akkor [tÏB(t)] azaz [tÏT], és ha [tÏT] akkor [tÎB(t)] azaz [tÎT].
Ez ellentmondás, amivel
(*)                                  cáfoltuk a kiinduló (1) indirekt feltételezésünket.
QED.
Erre a továbbiakban ’Cantor levezetés’ elnevezéssel hivatkozunk.
* * *
Állítás: Ez a levezetés hibás, nem bizonyítja a konklúziónak szánt állítást, azaz (1) tagadását. 
A hiba lényege: nem bizonyított, hogy a (2) követelményt kielégítő T halmaz szükségképpen létezik. Sőt ennek fordítottja igaz: amikor a levezetés során eljutunk (2) -ig,  már ott bizonyítható (anélkül, hogy hivatkoznánk a levezetés folytatására!), hogy az (1) feltétel fennállása mellett a (2) követelményt kielégítő TÎH nem létezik. Emiatt a (3) és a (4) -ben lévő kifejezések értelmezhetetlenek, ezért a levezetésben nem lehet eljutni a (4) ellentmondás kimutatásáig. 
A továbbiakban ezt a megállapítást fogom részletesen indokolni. Mivel a fenti Cantor levezetés nem hivatkozik explicite semmiféle axiómarendszerre, csupán csak a józan matematikai érvelési stílust alkalmazza (jelen cikk szerint egy "apró" kis hibával), ugyanígy fogok én is eljárni (de hiba nélkül).
* * *
A diagonalizáció fogalmának pontosítása
A pontosítás érdekében mindenek előtt két alapvető, ismert fogalmat idézek: tulajdonság, reláció, összhangban azok általánosan elfogadott definícióival. (Ezekben tehát semmi újat nem szándékozok mondani, csak ide idézem azokat, hogy kéznél legyenek.)
Def_1: A-n értelmezett tulajdonságoknak nevezzük a P: A ® {h,i} leképezéseket, ahol A tetszőleges nemüres halmazt jelöl, h ill. i a logikai hamisság ill. igazság jele.
Az A-n értelmezett P tulajdonság igazsághalmazának nevezzük azt az IP Í A halmazt, melynek pontosan azok a xÎA -k az elemei, melyekre P(x) = i.
Azt mondjuk, hogy az A halmazon értelmezett P tulajdonság kielégíthetetlen, ha IP=Æ ; egyébként azt, hogy kielégíthető.
Megjegyzés_1: Absztrakt tárgyalásmódnál tulajdonság alatt az A alaphalmaz  valamely részhalmazát is szokták érteni. Ez az halmaz alapú tulajdonságfogalom a Def_1 szerinti tulajdonságfogalomhoz az indikátorfüggvény (más elnevezés szerint karakterisztikus függvény) fogalmán keresztül kapcsolódik. Ha PÍA (halmaz alapú tulajdonság), akkor definiáljuk a P halmaz P indikátorfüggvényét a következőképp: tetszőleges xÎU -ra P(x)=i, ha xÎA, egyébként  P(x)=h. Ezzel a Def_1 szerinti P -hez jutottunk. Fordítva: adott, Def_1 szerinti P tulajdonság esetén az IP igazsághalmaz felel meg a P halmaznak.  
Az egyszerű szóhasználat kedvéért a P leképezést is és a neki megfelelő P halmazt is (azaz az IP igazsághalmazt is),  egyöntetűen tulajdonságnak nevezzük.  (Részletekbe menő szóhasználat esetén be kellene vezetnünk egy absztrakt P tulajdonságfogalmat, amit egyszer "P halmazzal definiált tulajdonságnak", másszor "P leképezéssel definált tulajdonságnak" nevezhetnénk. Ez itt azonban felesleges szószaporítás lenne, csak a szöveget tenné körülményesebbé.)
Def_2: Az (A,B) rendezett páron értelmezett  relációknak nevezzük az A×B halmazon értelmezett tulajdonságokat, ahol A és B tetszőleges nem üres halmaz.
Megjegyzés_2: A reláció fogalmát szokás még az A×B halmaz részhalmazaként is definiálni. A kétféle definíció közti kapcsolatot az indikátorfüggvény fogalma adja, ld. Megjegyzés_1. Fordított tárgyalás is lehetséges lenne: tulajdonság =  egyváltozós (egy argumentumú) reláció. Itt nem ezt használjuk.
Megjegyzés_3: A tulajdonság és a reláció fenti definíciója teljes összhangban van azok általánosan elfogadott definíciójával. Ezt a Wikipediából vett idézetek is alátámasztják:
( http://en.wikipedia.org/wiki/Property_(philosophy)    2008.11.08.-i állapot.) 
In mathematical terminology, a property p defined for all elements of a set X is usually defined as a function p: X → {true, false}, that is true whenever the property holds; or equivalently, as the subset of X for which p holds; i.e. the set {x| p(x) = true}; p is its indicator function
( http://en.wikipedia.org/wiki/Unary_relation    2008.11.08.-i állapot.)
In mathematics, especially set theory, and logic, a relation is a property that assigns truth values to combinations (k-tuples) of k individuals.

A további definíciókban és tételekben egységesen használom a következő jelöléseket:
Jelölések:
            U,V ≠ Æ   nemüres halmazok, melyekre U Í V.
            R: U×V ® {h,i} az (U,V) páron értelmezett reláció.

Def_3: Az R relációból származtatott diagonalizációs formulát a következőképp definiálom:
D(v; R) @ "uÎU [R(u,v) Ñ R(u,u)];   vÎV.
(Itt ’Ñ’ a ’kizáró vagy’ logikai művelet jele, ’@’ a formulahelyettesítés metanyelvi jele.)
Ha nyilvánvaló, hogy mely R -ről van szó, akkor a könnyebb olvashatóság kedvéért egyszerűen D(v)-t írok, és ezt egyszerűen csak diagonalizációs formulának nevezem.

Megjegyzés_4: A (logikai) formula fogalmának leírása megtalálható pl. itt:  planetmath_ formula
Megjegyzés_5: A diagonalizációs formulát az 'ekvivalencia' művelettel is kifejezhetjük, a következő formula azonos a diagonalizációs formulával:
"uÎU [R(u,v) Û Ø R(u,u)].

Mivel tetszőlegesen uÎU esetén R(u,v) minden vÎV -re értelmezett, ezért nyilvánvaló, hogy D a V halmazon értelmezett tulajdonság. Ennek alapján a továbbiakban a D-t diagonalizációs tulajdonságnak (is) fogom nevezni.

Tétel_1 (Diagonalizációs tétel): Ha U=V, akkor a D diagonalizációs tulajdonság kielégíthetetlen.
Bizonyítás: 
Legyen  e Î V  tetszőleges rögzített elem.
A Fe(u) @ [R(u,e) Ñ R(u,u)] kifejezésben elvégezve a u ¬ e helyettesítést, a ’kizáró vagy’ logikai művelet igazságtáblázata alapján kapjuk, hogy
Fe(e) = h.
Tehát létezik olyan xÎV, melyre Fe(x) hamis, azaz 
$xÎV [Ø Fe(x)],
ezért hamis az az állítás, hogy Fe(x) minden xÎV-re igaz, azaz
"xÎV Fe(x) = h,
azaz 
D(e) = h.
Mivel e-t tetszőlegesen választottuk, ezzel a tételt bebizonyítottuk. QED.

Megjegyzés_5: Vegyük észre, hogy a Diagonalizációs tétel iménti bizonyítása nem indirekt bizonyítás.

Alkalmazzuk a Diagonalizációs tételt a Cantor levezetésre.

Tétel_2: Ha (1) fennáll, akkor nem létezik a (2) követelménynek eleget tévő T Î H.
Bizonyítás: Először is vegyük észre, hogy injektív B: M ® H leképezés minden további feltétel nélkül, pusztán a H hatványhalmaz definíciójából kifolyólag létezik. (Ilyen pl. az a leképezés, amely tetszőleges mÎM -hez az egyelemű {m}ÎH -t rendeli.) 
Legyen B: M ® H egy injektív leképezés, és 
jelöljük B képhalmazát K -val,
nyilván KÍH. 
Jelöljük x-szel az M tetszőleges elemét és X -szel az x-hez rendelt X=B(x) halmazt, ahol tehát XÎK. 
B invertálhatósága következtében x = B-1(X). Ezt behelyettesítve (2)-be kapjuk, hogy
(5)                             "XÎK [B -1(X) Î T    Ø B -1(X) Î X];   TÎH.
Az (5) ekvivalens a (2) -vel, hiszen csak formula helyettesítés történt.
Definiáljuk az R(X,Y) relációt a következőképp:
(6)                                     R(X,Y) @ [B-1(X) Î Y];    XÎK, YÎH.
Ezt behelyettesítve (5) be, kapjuk: 
(7)                                     "XÎK [R(X,T) Ñ R(X,X)];   TÎH.
Itt is csak formulahelyettesítés történt, ezért (7) ekvivalens (5) tel, előbbiek miatt tehát  (7) ekvivalens (2) -vel.
Látható, hogy (7) nem más, mint a (6)-ban definiált R relációból származtatott D(T) diagonalizációs tulajdonság. Tehát a Cantor levezetésben lévő, TÎH -ra vonatkozó (2) követelmény ekvivalens a (6) -ban definiált R relációból származtatott D(T) diagonalizációs tulajdonsággal. 
Az (1) feltétel azzal ekvivalens, hogy létezik olyan injektív B: M ® H leképezés, mely egyben szürjektív is, azaz K=H. Ez megfelel a Diagonalizációs tétel  U=V feltételének, így a Diagonalizációs tétel alkalmazásával kapjuk, hogy minden TÎH -ra D(T) = h. 
Tehát ha (1) fennáll, akkor nem létezik a H hatványhalmaznak olyan T eleme, mely kielégíti D(T) -t. Azaz (1) fennállásakor nem létezik a (2) követelménynek eleget tévő T Î H.  QED.

Megjegyzés_7: Vegyük észre, hogy a Tétel_2 iménti bizonyítása nem indirekt bizonyítás; annak ellenére nem az, hogy a Cantor tétel (mint "főtétel") bizonyításra váró konklúziójának tagadására épül. A Tétel_2 felfogható egy lemmának, melynek premisszái egybe esnek a Cantor levezetés  kiinduló feltételeivel, köztük az indirekt (1) feltételellel. De ettől még a Tétel_2 fenti bizonyítása nem válik indirektté. hiszen a Tétel_2 számára  (1) egy "közönséges" (azaz nem indirekt) feltétel, azaz a tétel premisszája.

Cáfolat - a Cantor levezetés pontosítása
A Tétel_2 figyelembe vételével, ha most újra végignézzük a Cantor levezetést, akkor észre kell vennünk a következőt: 
Mivel az (1) feltétel mellett a (2) követelménynek eleget tévő, T-vel jelölt halmaz nem létezik, emiatt a Cantor levezetés korrekt módon nem folytatható tovább a (2) formula után; azon a ponton a levezetés 'elakad'. 
Részletesebben: a (3) és a (4) sorban lévő formulák tartalmazzák a T szimbólumot, azonban a Tétel_2 kimondta, hogy (1) fennállásakor a (2) követelményt kielégítő TÎH nem létezik. (Azaz olyan objektum, amit a T jelölne, nem létezik; a T jelnek nincs jelölete. A jel-jelentés-jelölet fogalmával kapcsolatban ld. Frege vonatkozó munkáját.) 
A (3) és a (4) sorban lévő formulákban tehát  T egy üres szimbólum, nem jelöl semmit, így ezek a formulák semmiről sem állítanak semmit. Ezáltal a Cantor levezetés nem folytatható a (2) ponton túl, ami azt eredményezi, hogy nem is sikerül kimutatni a (*) ellentmondást.
 
Diszkusszió: Az, hogy a (2) -nél 'elakad' a levezetés, ugyanazon a gondolaton nyugszik, mint pl. a 0 -val való osztás tilalma. Ha egy levezetésben - legyen szó akár direkt, akár indirekt bizonyításról - olyan ponthoz érünk, ahol 0 -val való osztás szerepel, ott azt nyilván nem lehet tovább folytatni; akkor sem, ha ez a 0 -val való osztás rejtett módon zajlik. (Pl. (a-b) -vel osztunk, miközben nem vesszük figyelembe, hogy adott esetben a=b, több ilyen játékos beugratás található elemi könyvekben.). 
A 0 -val való osztás tilalma a "nemlétezésen" alapul: az 1/0 művelet azért tilos, mert nem létezik olyan x szám, melyre x × 0 = 1. Bevezethetjük ugyan az x = 1/0 jelet, és ezek után formálisan még folytathatjuk is a levezetést, de az nyilvánvaló hiba. 
Ennek a gondolatnak természetes általánosítása a nemlétező T halmaz (2) ponton túli felhasználására  vonatkozó tilalom. 
Itt a 'nemlétező T halmaz' kifejezés úgy értendő, hogy az (1) feltétel mellett nem létezik a (2) követelményt kielégítő halmaz - amint azt a Tétel_2 kimondja. Az pedig, hogy az (1) feltétel mellett a (2) követelménynek eleget tévő T nem létezik, nem ellentmondás, hanem egy levezetett tétel. Ezt a tételt közvetlenül a (2) kimondása után le lehet vezetni a kiinduló feltételekből, és így ez az oka annak, hogy a levezetést nem lehet tovább folytatni e ponton túl.
Ezzel az elvvel sokszor találkozhatunk matematikai levezetésekben. A levezetés során definiálunk egy új fogalmat oly módon, hogy a definiálandó dologra megfogalmazunk egy követelményt, és mielőtt tovább lépnénk, fel kell tenni a kérdést: egyáltalán kielégíthető ez a követelmény a kiinduló feltételeink mellett? Természetes korlátozás: ha a válasz nemleges - és ez már a levezetésnek ezen a pontján, a folytatástól függetlenül bizonyítható -, akkor nem mehetünk tovább. Ezt a matematikai gyakorlatban be is szokás tartani. (Teljesen bizonyos, hogy ezen elv megsértésével nem lehetne matematika versenyt nyerni.)
Ez az elv független attól, hogy "direkt" vagy indirekt bizonyításról van-e szó: indirekt bizonyítás során sem szabad nullával osztani. Direkt bizonyítás során igaznak tekintjük a kiinduló feltételeket (ezek ekkor azonosak a bizonyítandó tétel premisszáival, ezek igazsága "szent és sérthetetlen" a levezetés során) és eljutunk a bizonyítandó konklúzióhoz - itt van vége a bizonyításnak. Indirekt bizonyítás során a bizonyítandó tétel konklúziójának tagadását is bevesszük a kiinduló feltételek közé és a többi mellett ez is szent és sérthetetlen a levezetés során mindaddig, amíg abszurdumra nem jutunk - itt van vége az indirekt bizonyításnak. (Valójában még van ezután egy lépés, amiben visszatérünk az eredeti tételhez, de ez a mondanivalóm szempontjából irreleváns.) 
Akár direkt, akár indirekt bizonyításról van is szó, amíg annak nincs vége, addig pontosan ugyanazok az elvek érvényesek - így többek között a fent említett természetes korlátozás is érvényes mindkettőre. A cáfolat gondolatmenetében mindezeket az elveket maradéktalanul betartottuk. 
Fontos megjegyezni: Noha (1) a Cantor levezetés szempontjából indirekt feltétel, ellenben a Tétel_2 szempontjából ez egy közönséges (azaz nem indirekt) feltétel.
Más szóval: (1) a Tétel_2 egyik premisszája (ld. még Megjegyzés_7 ).
Felmerül a gondolat, hogy - ha már egyszer a (2) után nem folytatható a levezetés - talán elég lenne ezen a (2) ponton kimutatni egy ellentmondást. Ehhez viszont azt kéne bebizonyítani, hogy ilyen T mégiscsak létezik; azaz létezik olyan T, mely az (1) feltétel mellett eleget tesz a (2) követelménynek. 
Azonban vegyük észre: a keresett T -re semmi más támpontunk nincs, mint (1) és (2). Nem akármilyen T-t keresünk, hanem épp olyat, ami eleget tesz (2) követelménynek az (1) feltétel fennállása mellett. Mindkét támpontot kihasználtuk annak bizonyítására, hogy ilyen T nem létezik. Ezek után lehetetlen elképzelni olyan levezetést, mely ugyanezen két támpont alapján mégiscsak kimutatja ilyen T létezését. Ne feledd: a keresett T-re semmi más támpontod nincs, mint (1) és (2)! Vagy van? 
 
Végkövetkeztetés: Cantor hatványhalmaz tételének ismert bizonyítása semmiképp sem teszi szükségszerűvé – csupáncsak lehetővé – hogy a hatványhalmaz számossága nagyobb legyen az alaphalmaz számosságánál. 

Ahogyan azt sem lehet bebizonyítani, hogy (-1)*(-1) = (+1), ugyanúgy ezt sem lehet bizonyítani, hogy a valós számok halmaza nagyobb a természetes számok halmazánál. Mindkét állítás megállapodás kérdése, bizonyos célok érdekében. 

A matematikai objektumok nem valóságos létezők, csupáncsak egy ember alkotta virtuális valóság elemei. Ha valaki mindenáron ragaszkodik ahhoz, hogy a valós számok halmazát, mint "aktuálisan végtelen halmazt", létezőnek tekintse, és egyfajta "darabszámal", azaz számossággal akarja azt felruházni, akkor természetesen összeállíthat egy önkényes (koncepciós) axiómarendszert és erre felépíthet egy transzfinit halmazelméletet a végesen túli rendszámok mesterséges bevezetésével ..... de minek? (Állítólag Neumann János egyszer azt mondta: egy szelet csokoládéért szívesen megcsinálja a halmazelmélet axiómarendszerét. Lehet, hogy valaki adott neki egy szelet csokit?) 

Felhívás: Ha úgy gondolod, hogy Cantor tétel mégiscsak szükségképpen igaz, és a valós számok halmaza szükségszerűen - nemcsak lehetőség szerint - nagyobb számosságú, mint a természetes számoké, akkor keresd meg a hibát a cáfolat gondolatmenetében! 

Ehhez, kérlek, vedd figyelembe a következőket. Ha egy matematikai gondolatmenet minden lépése hibátlan, akkor hibátlan a gondolatmenet. Ha be akarod bizonyítani, hogy a gondolatmenet hibás, ahhoz - indoklással egybekötve - rá kell mutatnod legalább egy konkrét lépésre, ami szerinted hibás. A konkrétumot mellőző, sommás vélemény-nyilvánítás semmire nem vezet. 
Ja, és még valamit: vedd könnyedén, ez talán csak egy beugrató játék. (De ettől még komoly.. Kérem a tábla csokit!)

Kapcsolódó linkek (2008.11.08-i állapot szerint ezek létező linkek)
Tulajdonság: http://en.wikipedia.org/wiki/Property_(philosophy) 
Reláció: http://en.wikipedia.org/wiki/Unary_relation http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_relation
Részhalmaz axióma: http://en.wikipedia.org/wiki/Subset_axiom
Elsőrendű logika (szimbólum, term, formula): http://planetmath.org/encyclopedia/Formula.html
Ellenvélemények Cantorral szemben: http://en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor%27s_theory
Utóbbiban figyelmedbe ajánlom - többek között - a következő szövegrészt:
"No one will drive us from the paradise which Cantor created for us" (Hilbert, 1926). To which Wittgenstein replied "if one person can see it as a paradise of mathematicians, why should not another see it as a joke? (Irodalmi hivatkozások a nevezett linken.)
* * *
Copyright © Geier János 
www.geier.hu
Vissza