pdf verzió: PDF

English version

A „Ctrl+egérgögő” -vel  tudod nagyítani. Az ablakmérettel tudod olvasható szélességűre alakítani.

Ez az írás a Ruzsa Imre emlékkonferencián 2009.09.18.-án elhangzott 20 perces előadásom (+10 perc hozzászólás), valamint az 5 nappal későbbi Filozófiai Szemináriumon 2009.09.23.-án elhangzott 1 órás (+fél óra diszkusszió) előadásom lényegét tartalmazza. A Filozófiai Szemináriumra beküldött absztraktot itt találod.(A szeminárium honlapja azóta megszűnt.)

Mekis Péter, mint az egyik szervező határozott felkérésére,amit egy körlevélben 2009. december 31 -én küldött, megírtam és 2009 végén beküldtem az előadásomat cikk formájában. Az ígéret részükről az volt, hogy az összes előadó cikke majd meg fog jelenni a Világosság c. folyóiratban. Ezek után 7 hónap hallgatás után Máté András közölte, hogy „ügy lett a cikkemből”, és hogy ”számára a cikk vállalhatatlan” és ő, mint felelős vendég-szerkesztője ennek a témának, nem jelenteti meg.

Itt van a teljes levelezés az „ügyemben”.

Mekis Péter felkérésére beadott, majd Máté András által visszatáncoltatott teljes cikk itt található
Máté Andrással a cikk visszautasítása kapcsán folytatott levelezés itt található: MAlevelezes
Mekis Péterrel a cikk visszautasítása kapcsán folytatott levelezés itt található: MekisLevelezes

Megelégelve MA sok mellébeszélését a vele történt levelezés során, a teljes vele folytatott levelezést elküldtem arra az email listára, amit még kezdetekkor Mekis benne hagyott a felkérő e-mailben. Nem sokkal ez után MA egy lejárató posztot indított rólam a Szkeptikus blogon . Erről valóban értesített engem, utólag, „itt vitatkozhatsz, ha akarsz” felszólítással, de miután már a poszt eleje egyből durva személyeskedés volt ellenem, nem vettem benne rész.

Részletesebben ld. itt: Reflexióim az elutasításra

2010.10.02.: Iránytű az olvasáshoz

Ez az iránytű semmi újat nem állít a cikkben foglaltakhoz képest. Csak felhívja a figyelmet bizonyos dolgokra, melyek félreértelmezhetők, vagy elkerülhetik a felületes olvasó figyelmét.

A szerző az alábbi írásában és a teljes cikkben azt állítja, és szándéka szerint korrekt matematikai gondolatmenettel be is bizonyította, hogy a tankönyvekben és kézikönyvekben fellelhető, indirekt gondolamenetben egy "csúsztatás" van; valamit ott nem vettek figyelembe. A hiba (bizonyos formális előfeltevések alapján! - ld. alább) korrigálható, de az már egy másik bizonyítás lesz. Ezen (ti. a formális előfeltevések létjogosultságán) különféle filozófiai vitákat lehet folytatni. De nem matematikait.

A gondolatmenet lényegét a Tétel_2 utáni Következmény_2 mondja ki. Ld. még alul a diszkussziót.

Egy fontos előzetes, amiről eddig azt gondoltam, hogy mindenki számára nyilvánvaló, ezért nem hangsúlyoztam. Egy halmaznak kétféle minősége van: egyrészt objektumok (dolog, ding) gyűjteménye, (collection, zusammenfassung), másrészt maga is objektum (ami aztán lehet eleme egy újabb gyűjteménynek.) Az M alaphalmaz valamely N részhalmaza az M alaphalmazban gyűjtemény minőségben van jelen, ugyanakkor a 2^M hatványhalmazban objektum minőségben van jelen. Kérlek, ezt tartsd szem előtt, ha szeretnéd megérteni, miről beszélek. (Ettől még nem kell egyetértened.) Az „összefont gondolatok gubanca” éppen attól van, hogy e kétféle minőség egymásba keveredik a diagonalizációs módszerben. Maga Zermelo (1908), más szavakkal, hasonlót mond a kétféle minőségről - amit a mai szakirodalom már rég elfelejtett - de azt más vonatkozásban teszi és nem kapcsolja össze eme „Cantori gubanccal”. (Ennél többet most mondok erről.)

Szemantikai értékrés Cantor édenkertjének égboltján - avagy mi az, amit megmentett Hilbert?

 C: Geier János, 2009.09.18-24

Ld. még: http://www.geier.hu/Cantor/Cantor_rovid.htm

Az eredeti az kissé kiegészítve és sajtóhibák javítva. 2009.10.06, majd 2010.10.02.

A teljes cikkre mutató linkek betéve: 2010.09.27  

Minden jog fenntartva. Ez az írás a szerző írásbeli beleegyezése nélkül nem másolható,
nem sokszorosítható, nem terjeszthető, sem részben, sem egészben.
Az oldal linkelhető.
Idézés esetén az irodalmi hivatkozások szabályainak betartása szigorú követelmény.

FIGYELEM: Ha a matematikai - logikai jelek  nem olvashatók, akkor nézd meg ezt a PDF  fájlt.

EZ A HANDOUT NEM AZONOS A teljes cikk -KEL!  ANNAK MONDANIVALÓJA JÓVAL BŐVEBB. 

A CANTOR TÉTEL

Tétel (Cantor hatványhalmaz tétele) Tetszőleges nemüres M halmaz nem ekvivalens a H=2^M hatványhalmazával.

Bizonyítás: (a jól ismert tankönyvi verziók rekonstrukciója)
Tegyük fel indirekte, hogy M ekvivalens H-val, azaz, hogy
(1)                                        létezik  B: M → H  bijektív leképezés.
Tekintsük a H hatványhalmaznak azt a T elemét [ami egyúttal részhalmaza az M halmaznak], melynek pontosan azok az M halmazbeli x elemek elemei, melyekhez rendelt B(x) halmaz nem tartalmazza elemként x-et. Azaz a T∈H halmaz legyen olyan, hogy tegyen eleget a
(2)                                         ∀x∈M [x∈T ⟺ ¬ x∈B(x)].
követelménynek
(*)
Az (1) miatt létezik t∈M , melyre
(3)                                                  B(t) = T.

A (2’) -ben x:=t partikularizációval kapjuk:
(4)                                              t∈T ⟺ ¬ t∈B(t)

A (4) és (3) kétszeri felhasználásával kapjuk:
(5)       ha [t∈T] akkor [¬ t∈B(t)] azaz [¬ t∈T], és ha [¬ t∈T] akkor [t∈B(t)] azaz [t∈T].

Ez abszurdum, amivel cáfoltuk a kiinduló (1) indirekt feltételezésünket.
qed

Erre a továbbiakban ’Cantor bizonyítás’ elnevezéssel hivatkozok.

(Comment 2025-12-09.) Szkeptikus blogon Mandras azt írja, hogy „G. J. úr az elutasított cikkben először is előadja a Cantor-tétel „szokásos”, általa hibásnak vélt bizonyítását.” Miért van idézőjelbe téve a „szokásos”, ami később még 3x is ugyanígy szerepel nála? Talán nem ez a szokásos bizonyítás?
Nos az van, hogy az általam jórészt véletlenszerűen, csak a címük alapján kiválasztott (csak Zermelot és Skolemet választottam célzatosan) alábbi dolgozatok többsége a tankönyvi „szokásosat” hozza: abból indulnak, hogy indirekte feltételezik a bijektív leképezés létezését M és H között.
Az alábbi 8 dolgozat (random választott könyvek) mind a bijektivitást teszik fel indirektként:
Ruzsa, I. (1966, p147,) A matematika néhány filozófiai problémájáról. Tankönyvkiadó,
Hajnal, A. and Hamburger, P. (1989, p34) Halmazelmélet, Tankönyvkiadó, Budapest)
Goldrei, D. (1998 p148) Classic Set Theory, CRC Press company, New York
Halmos, P. (1960, p93) Naive set theory, D. Van Nostrand Company, Inc., New York
Rubin, J. (1967, p68,) Set Theorem for the Mathematician, Holden-Day, San Francisco,
Stoll, R. R. (1979, p86,) Set Theory and Logic, Dower Publications, Inc., New York
Suppes, P. (1960, 1972, p97) Axiomatic set theory, Dover Publication inc., New York
Hallett, M. (2013) Zermelo’s Axiomatization of Set Theory, https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory
Vegyes kivételek:
Jech, Th. (2002) Set Theory, 3rd Millennium ed, rev. and expanded. Springer, 2002, , p22-23)
       “Let f be a function from X into P(X)…” (into= injektív)
Zermelo, E. (1908) “Untersuchungen über die Grundlagen.., Math. Annalen 65
       Fordított irányú és into: “… ha P(M) ekvivalens lenne egy M0 ⊆ M részhalmazzal…”
Skolem, Th (1962, p16.) , AbstractSet Theory, Notre Dame, Indiana.
       Fordított irányú és into: „...no mapping f of P(M) into M can exist. Indeed, let us assume
       the existence of such a mapping f and let N be the set of all f(X) for subsets X of M for which f(X)eX..”
Enderton, B. H. (1977, p133) “Elements of set theory”, Elsevier, Oxford, reprint.
       Ez egy teszőleges leképezést mond kiindulásnak.

MA bizonyítása a Szkeptikus blogon és az MAlevezlezésben azonos Endertonéval.
Skolemé azonos Zermeloéval: f: P(M) → M -mel indul és indirektként feltételezi, hogy az into.
Th. Jech kilóg.

Tehát 8db egyforma, 2-2db más, páronknt egyforma, 1db egyedi.

MA verziójára csak egyetlen szakirodalmi példa van a listában. De MA ezt sem adta meg referenciának. Tehát jogos a sejtés, hogy nem ismerte Enderton bizonyítását, és más hasonlót sem. Ld. MAlevelezés eme pontját, ahol ezt kifogásolom.
Egyébként pedig bármelyik bizonyítáⁱs, ami nem a bijektívitás feltétlezésével indul, simán átalakítható (sőt, állítom: átalakítandó!) a bijektívessel ekvivalenssé. Ugyanis, ha pl az idirekt feltételezés az, hogy f:P(M)→M tetszőleges, akkor két eset van: vagy bijektív, vagy nem. A második eset tautológiára vezet, így marad az első. Ugyanez van injektívititás feltételezésekor, bármelyik irányú is az. És ha egy bizonyítás valamely lépésében úgy lehet szétágaztatni, hogy az ágak lefutása eltérő, akkor kötelező is ez a szétágaztatás – máskülönben csalás lesz belőle.

* * *

Állításom: Ez a levezetés hibás, nem bizonyítja a konklúziónak szánt állítást, azaz (1) tagadását. A hiba lényege: nem bizonyított, hogy a (2) követelményt kielégítő T halmaz szükségképpen létezik. Sőt ennek fordítottja igaz: amikor a levezetés során eljutunk (2) -ig,  már ott bizonyítható (anélkül, hogy hivatkoznánk a levezetés folytatására!), hogy az (1) feltétel fennállása mellett a (2) követelményt kielégítő T∈H nem létezik. Emiatt a (3) és (4)-ben lévő kifejezések értelmezhetetlenek, ezért a levezetésben nem lehet eljutni a (5) ellentmondás kimutatásáig. (Magában az (5)-ben lévő [t∈T] is egy üres kijelentő mondat.)

Definíció:   Legyen U⊆V és R az (U,V)  páron értelmezett reláció. Az R relációból származtatott  diagonalizációs tulajdonságot a következőképp definiálom:   
                                        D(v) := ∀x∈U [R(x,v) ⟺ ¬ R(x,x)] , v∈V.
Tétel (Diagonalizációs tétel):   Legyen U=V. Akkor az R-ből származtatott  diagonalizációs tulajdonság kielégíthetetlen a V halmazon, azaz tetszőleges v∈V-re  D(v) = h (h-val a ’hamis’ logikai értéket jelölöm), azaz ∀v∈V [¬ D(v)].
Biz: Legyen  e∈V  tetszőleges rögzített elem. A Φ_e(x) := [R(x,e) ⟺ ¬ R(x,x)] -ben elvégezve a x:= e helyettesítést kapjuk, hogy Φ_e(e) = [R(e,e) ⟺ ¬ R(e,e)] = h.

Tehát létezik olyan x∈V, melyre Φ_e(x) = h, Emiatt [∀x∈V Φ_e(x) ] = h, azaz D(e) = h.
Mivel e-t tetszőlegesen választottuk, ezzel a tételt bebizonyítottuk. qed.

Megjegyzés: Ez egy egyszerű, és egyszerűen bizonyítható tétel. Ez egy svájci bicska. Amit tettem az annyi, hogy megmutattam, hogyan lehet ezzel a bicskával átvágni a Cantor tétel bizonyításában rejlő gubancot (önhivatkozó, „összefont gondolatok”). (És nyilvánvaló, hogy a Russell antinómiában lévőt is át lehet vele vágni, amint azt az előadás PowerPointjában be is mutattam.)

Tétel_2: Ha a Cantor tétel (1) indirekt hipotézise szerint
(1’)                                    létezik  B: M → H  bijektív leképezés,
akkor nem létezik a (2) követelménynek eleget tévő  T∈H; azaz nem létezik olyan T∈H, melyre  
(2’)                                              ∀x∈M [x∈T ⟺ ¬ x∈B(x)].
Bizonyítás:
Egyelőre használjunk ki annyit, hogy B injektív és jelöljük B képterét K -val, K∈H.
Bevezetve a  X=B(x)  jelölést  (ahol x∈M), (2’) ezzel ekvivalens: 
(5)                                    ∀X∈K [B^-1(X)∈T ⟺ ¬ B^-1(X)∈X]; T∈ H .
Definiáljuk az R(X,Y) relációt így:
(6)                                   R(X,Y) := [B^-1(X) ∈ Y]; X ∈ K, Y ∈ H.
Ezt felhasználva (5) ezzel ekvivalens:
(7)                                  D(T) = ∀X∈K [R(X,T) ⟺ ¬ R(X,X)]; T ∈ H .
Látható, hogy (7) nem más, mint a (6)-ban definiált R relációból származtatott D diagonalizációs tulajdonság  és ez  ekvivalens (2) –vel.
Az (1) feltétel azzal ekvivalens, hogy létezik olyan injektív B: M → H leképezés, mely egyben szürjektív is, azaz K=H. Ez megfelel a Diagonalizációs tétel  U=V feltételének, így a Diagonalizációs tétel alkalmazásával kapjuk, hogy D(T) = h.
Tehát (1) fennállásakor nem létezik a (2) követelménynek eleget tévő T∈H.
qed 
Következmény_2: A Cantor levezetése elakad a (2) után a (*) pontnál, mivel azon túl egy addigra bizonyítottan nem létező T objektumra történik hivatkozás. Azt, hogy ilyen T nincs, a kiinduló indirekt (1) feltételre támaszkodva, de a (2) ponton túli folytatástól független, önálló gondolatmenettel vezettem le. Mivel a Cantor levezetés az ellentmondás kimutatása előtt elakad, ezért ez egy hibás levezetés.

Az már más kérdés, hogy helyette, épp a Tétel2 -re hivatkozva, lehet-e egy másik bizonyítást konstruálni. Ha találunk kellő  hivatkozási alapot, akkor (formailag) lehet (ld. alább).  De akár megvan ez a hivatkozási alap, akár nincs, ettől függetlenül igaz, hogy az eredeti bizonyítás hibás, amint azt a fenti matematikai gondolatmenet bizonyítja. És ez így van a Cantor elméleten belül is és a ZFC-n belül is, hiszen semmi olyan nincs felhasználva e hiba kimutatása során, ami csak az egyik rendszereben lenne igaz és másikban nem.

Kapcsolat a ZF(C) részhalmaz axióma sémájával. Wolfram szerint (eredeti betűjelek kissé átalakítva):
                                  ∃T ∀x (x ∈ T ⟺ (x ∈ M & ϕ (x))).
azaz:  ha ϕ egy tulajdonság, akkor tetszőleges M halmaz esetén létezik az a  T := { x ∈ M | ϕ(x) }, halmaz, mely az M halmaznak pontosan azokat az x elemeit tartalmazza, melyek rendelkeznek a ϕ tulajdonsággal.
Alkalmazás a Cantor levezetésre. Legyen ϕ(x) := [ ¬ x ∈ B(x)], akkor a részhalmaz axiómaséma partikuláris esete ez lesz:
                                ∃T ∀x (x ∈ T ⟺ (x ∈ M & ϕ (x))).
Azaz e konkrét axióma azt állítja, hogy bijektív B leépezés, és tetszőleges M halmaz esetén létezik a H hatványhalmaznak az a T eleme, melyre  
(**)                         ∀x∈M (x ∈ T ⟺ ¬ x ∈ B(x)).
 A (**) azonos a (2) követelménnyel. Tehát  a ZF(C) részhalmaz axióma sémája alapján egy olyan konkrét axiómát állítottunk elő, mely pontosan az ellenkezőjét állítja annak, amit a Diagonalizációs tétel alkalmazása állít a Cantor levezetésre (ld. Tétel_2).  Ez ellentmondás, amiből úgy (is) ki lehet kerülni, hogy tagadjuk a B bijektivitását. Ezzel a formális segédlettel tehát a Cantor hatványhalmaz tétel a ZF(C)-ben bizonyítható. Ez elgondolkodtató!  (Neumann János maga mondja, hogy az egy formális segédlet. Ld. a teljes cikket.)

2010.10.02. Ha elfogadjuk a ZF (vagy ZFC) axiómarendszert, akkor formális értelemben (de csakis úgy!) megvan a kellő hivatkozási alap ahhoz, hogy a Cantort tételt az eredeti hibás gondolatmenettől eltérő módon, épp a Diagonalizációs tételre hivatkozva bizonyítsuk, hiszen ott kimondatott egy ezt biztosító axióma. Ezek után hosszasan lehet filozófálni azon, hogy vajon a "naív halmazelméletben"  szintén rendelkezésre állt-e egy ilyen hivatkozási alap. Van, aki úgy gondolja, hogy egy ki nem mondott, hallgatólagos feltételezés is lehet hivatkozási alap, és erről még egy blogot/posztot is indít. Lelke rajta.

(2025-12-12) MA ellenvetésére válaszul: a „naiv” halmazelméletben a Cantori abszrakciós elv (azaz a korlátlan komprehenziós elv) egy kellően át nem gondolt elv csupán, de nem axióma. Ezért, mivel a Tétel_2 ebben az esetben az ellenkezőjét állítja, emiatt el kell azon gondolkodni, melyik állítás az erősebb. A Russell antinómiánál Zermelo (1908) elgondolkodott, és úgy rendezte az axiómáit, hogy vesszen a sepciális eset: a russelli halmaz nem létezik. A Cantor tételnél miért nem ugyanez a válasz: bijektív B esetén a T halmaz nem létezik. Utóbbi bizonyítva is van, mégis kötitek az ebek a karóhoz. (Melleleg a Russell halmazra is érvényes a Diagonalizciós tétel, azzal is bizonyítható, hogy az nem létezik. De ott nincs ez a karóhoz kötözés. Vajon mért?)

DISZKUSSZIÓ

MA azzal érvel, hogy Cantor elméletében a korlátlan komprehenzis elv elfogadott volt, tehát abban bizonyítható a Cantor tétel. Én pedig mindig is azt állítottam (utólag látom, nem eléggé emeltem ezt ki) és bizonyítottam, hogy mivel az a bizonyítás hibás, ezért az a komprehenziós elv még annál is hibásabb, mint amit amit a konszenzus mond: nemcsak a Russell antinómia miatt hibás, hanem ez a hiba már a Cantor tételnél is kiütközik. Ha úgy oldjuk fel a Russell antinómiát, hogy a Russell halmazt nemlétezőnek tekintjük, akkor a Cantor tételnél is ezt kell követni: a most T -vel jelölt átló-halmazt is nemlétezőnek kell tekinteni bijektív B feltételezésekor - amit bizonyítottam is. (ld. még alább)

A gondolatmenet sarokpontja a Következmény_2. 
Ha csak annyi lenne itt a hivatkozási alap, hogy "T azért nem létezik a (*) pontnál, mert majd az indirekt Cantor bizonyítás végén kiderül az ellentmondás", akkor az hiba lenne, hiszen bizonyítások során - akár direkt, akár indirekt - csak a sorrendben korábbi lépésekre szabad támaszkodni.
A fenti gondolatment azonban nem sérti meg ezt a "sorrendiségi szabályt", amit a következő okfejtés mutat meg.
Azt, hogy a T nem létezik a kiinduló feltételek mellett, egy általános tételre (Diagonalizációs tétel =DT) alapozva a Tétel_2 mondja ki. A DT  tetszőleges R relációról szól. A DT-nek a konkrét helyzetre történő alkalmazása a Tétel_2, amikor is tekintjük a (6) -ban megadott konkrét R -t. A DT bizonyítása független a Cantor bizonyítás (*) -on túli folytatásától, hiszen az egy általános tétel. A Tétel_2 bizonyítása is független a (*) ponton túli folytatástól, hiszen az egy alkalmazása a DT-nek, a kiinduló feltételekre (azaz (*) -nál korábbi állításokra) támaszkodva.. Tehát: a gondolatmenet úgy mutatja ki a (*) pontnál a T -nek az adott feltételek melletti nemlétezését, hogy nem fut előre. Így tehát szó sincs az indirekt bizonyítás félreértelmezéséről.

Megjegyzés
Itt egy, a matematikai levezetések során lépten nyomon tetten érhető elvet alkalmaztam, amit a teljes cikkben "korlátozási szabálynak" neveztem. Ez alatt azt értem, hogy egy levezetés (legyen az akár direkt, akár indirekt) során nemcsak lehet támaszkodni a premisszákra (közvetlenül vagy közvetve), hanem minden lépésben kötelező is figyelembe venni a premisszák általi esetleges korlátozást. A „figyelmbe vétel’ azt jelenti, hogy ahol beleütközünk egy ilyen korlátba, ott a bizonyítás elakad, nem folytatható tovább. Ennek indoka, hogy ilyen esetben a folytatásban üres, jelölet nélkül jel fog szerepelni, így az abban lévő mondatok nem tekinthetők állításnak (assertion), csupán csak üres kijelentő mondatoknak. (Ennek kifejtését ld. a teljes cikkben vagy alább egy példával illusztrálva)

 A korlátozási szabály (és a másik kettő) kimondásával semmi újat nem szándékoztam mondani, csak ismerve a félreértelmezési alternatívákat, azokat előre ki akartam védeni azzal, hogy bizonyos jól ismert és általánosan elfogadott elveket explicite lerögzítek. (Ld. a cikkben a 3 szabályt.)

MINDEN VALÓS SZÁM EGYENLŐ (Betéve 2025-12-09)

Az alábbi játékos hamis bizonyítás tökéletsn példázza azt a hibát, ami a Cantor tétel szokásos bizonyításában is fennáll.
Northrop(1947) nyomán, aki Leitzmann (1928) -ra hivatkozik, be fogom „bizonyítani”, hogy bármely két valós szám egyenlő egymással. Persze előre „tudjuk”, hogy ez a „bizonyítás” hibás. A hibát csak a kezdők nem veszik észre.

Tétel_h Bármely két szám egyenlő. (A továbbiakban szám alatt végig valós számot kell érteni.)
Bizonyítás
Indirekt hipotézisként tételezzük fel, hogy van két különböző szám.
Akkor az egyik nagyobb mint a másik, jelöljük a nagyobbat a-val, a kisebbet b-vel:
(1)           a > b.
Akkor van olyan c>0 szám, hogy
(2)           a = b + c.
Szorozzuk meg mindkét oldalt (a – b) -vel:
(3)           a² – ab = ab + ac - b² – bc.
Mindkét oldalból vonjunk ki ac -t:
(4)           a² – ab – ac = ab – b² – bc.
Bontsuk mindkét oldalt tényezőkre:
(5)           a (a – b – c) = b (a – b – c).
(*) Legyen s az a szám, melyre
(6)           (a – b – c) s = 1.
Szorozzuk be (5) mindkét oldalát s-sel:
(7)           a (a – b – c) s = b (a – b – c) s
A (6) miatt (7) -ből következik
(8)           a = b,
ami ellentmond a kiinduló indirekt hipotézisnek.
Tehát nincs két különböző szám; bármely két szám egyenlő egymással.
Qed

Ezt a példát már 2009 ben is ismertem. Nagyon sajnálom, hogy akkor ezt nem közöltem. Mentségemre legyen, hogy feltételezem, hogy igazi szakértőkkel van vitám, akik enélkül is értik, miről beszélek, amikor a cikkben ismertetett szabályokat leírom. De valami miatt sötét sakkvakság lett rajtuk úrrá, figyelmük meglehetősen szelektívvé vált, mikor a cikkemet olvasták. Emellet rendszeresen egy másik gondolatmentet húztak elő, azt bökdösték.

A Bizonyítás hibája
Mivel (2) miatt (a – b – c) = 0, ezért nem létezik olyan s szám, melyre (a – b – c) s =1.
Tehát a (*) deskripció kielégíthetetlen: nem létezik olyan, s-sel jelölni kívánt szám, mely kielégíti az (6) követelményt; az „s” egy üres jel, nem jelöl semmit. Frege (1892) szavaival élve az s egy jel (sign, Zeichung), van jelentése (sense, Sinn), de nincs jelölete (reference, designated, Bedeutung, Bezeichneten).)
Ezért a Bizonyítás_1 a (*) lépésnél elakad, ami alatt azt értem, hogy a soron következő lépés már nem végezhető el, mivel abban a jelölet nélküli „s” jel szerepel. Így a levezetés nem jut el a (8) -hoz, a célul kitűzött ellentmondás nem jön létre.

A világos fogalmazás érdekében a „deskripció” kifejezést használom itt, a szokásos „definíció” helyett. Ruzsa (2000) szerint „deskripció: egy adott objektum megnevezése olyan tulajdonságok alapján, amelyekkel csak az adott objektum rendelkezik.” És ismét Ruzsa szerint: „A deskripció használatával… a denotáció hiánya fordulhat elő.” Denotáció-hiány: = szemantikai értékrés, vagy ha tetszik: igazság-értékrés.

A Bizonyítás tehát nem bizonyítja a Tétel_h-t; az egy hamis bizonyítás.

Comment
Northrop eredeti példájában a (5) utáni lépés egyszerűen úgy szól, hogy osszuk el mindkét oldalt (a – b – c)-vel. Itt a (6) -tal csak jobban ki akartam emelni a párhuzamot a Cantor bizonyítással.
Diszkusszió
a) Egy tétel reduction ad absurdum típusú indirekt bizonyítása abban áll, hogy a tétel premisszaegyüttesét kiegészítjük a bizonyítandó konklúzió tagadásával (ez az indirket hipotézis), és az így kiegészített premisszaegyüttes alkotja egy új bizonyítás kiinduló permisszaegyüttesét. Amikor eljutnunk az abszurdumhoz, akkor még kell egy lépés: az abszurdumra hivatkozva bizonyítottnak tekintjük az indirekt hipotézis cáfolát, és kimondjuk, hogy ezzel bizonyítottuk az eredeti tétel konklúzióját.
Amíg el nem jutottunk az ellentmondáshoz, addig az indirekt hipotézist igaznak kell tekinteni. Ezt az elvet szeretrném a feltételes igazság szabályának nevezni.
b) A mindennapi matematikai tevékenység során általánosan alkalmazott triviális alapelv, amit már az iskolában is megtanítanak (számtalan elemi algebrai példa van erre, ld. a középiskolai példatárakat. Öregebbeknek: Laricsev.), hogy bizonyításoknál ügyelni kell arra, hogy az adott premisszák mellett léteznek-e azok a matematikai objektumok, melyeknek a jeleit felhasználjuk. Elvileg ezt a bizonyítás minden egyes lépésénél meg kell vizsgálnunk, és

ha valamely lépésnél - a bizonyítás folytatásától függetlenül - bizonyítható, hogy egy felhasználni kívánt változóhoz nem tartozik jelölet, ott a bizonyítás elakad, nem folytatható. Ez a korátozási szabály kissé más megfogalmazása.

A korlátozási szabályt reduction ad absurdum típusú indirekt bizonyításnál is be kell tartani, amint azt a Proof_1 példázza: a (*) deskriptióban szereplő ’s’ jelnek, éppen az indirek hipotézis következtében nincs jelölete, ez a folytatástól függetlenül bizonyítható, tehát itt a bizonyítás elakad.
Az előbbi hamis bizonyítás attól hamis, hogy nem veszi figyelembe a korlátozási szabályt, így nem áll le a (*) lépésnél.
Totális a párhuzam a Cantor tétel bizonyításával, aminek belátását a tisztelt olvasóra bízom.

Mellesleg (2010.11.10):
Egyébként az is nagyon fontos kérdés, hogy milyen alapon általánosítjuk végtelenre azt a véges tapasztalatunkat, hogy amennyiben adott egy H halmaz valamely h elemének valamely lokálisan megállapítható P tulajdonsága, akkor kell létezzen a H halmaz azon részhalmaza, mely pontosan az ilyen P tulajdonságú elemeket tartalmazza. (Van, aki ezt nevezi a lokális tulajdonság kollektivizálhatóságának.) Ez a legtöbb esetben természetes. Pl. ha látok egy páros számot (ezt lokálisan állapítom meg, ti. 2 -vel elosztva 0 a maradék), akkor joggal gondolom, hogy létezik a természetes számok halmazának az a részhalmaza, mely a párosakat és csak azokat tartalmazza (ehhez persze el kell fogadnunk a természetes számok halmazának létét, mint aktuális végtelent). De miért kéne gond nélkül elfogadnunk e szabály olyan mértékű általánosítását, hogy végtelen M halmaz esetén (ld. a fenti Cantor hatványhalmaz tétel jelöléseit) is eleve léteznie kellene a (2) követelményt kielégítő  T-nek?  Ahogy mondogatni szokták:  a "végtelenben" (értsd: az aktuális végtelent elfogadó elméletekben) sok minden másképp van, mint végesnél. Pl. ott nem igaz, hogy a rész feltétlenül kisebb az egésznél, hiszen egy végtelen halmaz bizonyos saját valódi részhalmazaival is tud ekvivalens lenni. Akit ez nem zavar, annak vajon miért nehéz elfogadni, hogy a Cantor hatványhalmaz tétel indirekt bizonyításának kiinduló feltételei mellett a lokálisan megállapítható xÏB(x) azaz  [x nem eleme B(x)] tulajdonság nem kollektivizálható ( - egyébként ez a Tétel_2 állítása).

Íme a lenyelendő béka: van olyan lokálisan megállapítható tulajdonság, ami nem kollektivizálható. Sokan nem tudják ezt lenyelni. Az ő vágyálmuk: szeretnék, hogy minden lokálisan megállapítható tulajdonság kollektivizálható legyen. Azonban ezt a vágyálmot semmi mással nem tudják alátámasztani, mint hogy úgymond "posztulálják", ami pl. a részhalmaz axiómaséma lefektetésében nyilvánul meg. Ezt az axióma-sémát elfogadva, formális értelemben valóban bizonyítható a Cantor tétel, hiszen ekkor a (*) pont előtt a fent tárgyalt, Tétel_2 -vel kapcsolatos ellentmondásra jutunk (ld. ZF(C)-s fejezet). A Cantor hatványhalmaz tétel tehát e vágyálomra hivatkozva (és a Diagonalizációs tételt felhasználva!) valóban bizonyítható.

Kiegészítés (2025-12-09) Az eltelt időben rengeteg halmazelméleti munkát, többek Zermelo, Cantor, Skolem stb. eredeti cikkeit, valamint kb. 10 könyvet is megnéztem a fenti szempontok szerint. Kiderült, hogy Zermelo is szinte pontosan arról beszél a bevezetőjében, amiről én, csak éppen a Russell antinómia kapcsán:

„Angesichts namentlich der ,,Russellschen Antinomie" von der ,Menge aller Mengen, welche sich selbst nicht als Element enthalten" scheint es heute nicht mehr zulessig, einem beliebigen logisch definierbaren Begriffe eine ,,Menge" oder ,,Klasse" als seinen ,,Umfang" zuzuweisen. Die ursprtingliche Cantorsche Definition einer ,,Menge" als einer „Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen" bedarf also jedenfalls einer Einschrenkung, ohne dass es doch schon gelungen ware, sie durch eine andere, ebenso einfache zu ersetzen, welche zu keinen solchen Bedenken mehr Anlass gabe…. Diese Aufgabe muß in der Weise gelöst werden, daß man die Prinzipien einmal eng genug einschränkt, um alle Widersprüche auszuschließen, gleichzeitig aber auch weit genug ausdehnt, um alles Wertvolle dieser Lehre beizubehalten.” (Zermelo 1908b)

Aláhúzás tőlem. A google tanslator (majdnem) jól fordítja.

Az utolsó mondatból nyilvánvaló a célhoz igazítás.

Nem sokkal később még a bevezetőben: „Die weitere, mehr philosophische Frage nach dem Ursprung und dem Gültigkeitsbereiche dieser Prinzipien soll hier noch unerörtert bleiben.” (Én, GJ, Zermelo bevezetőjének korábbi mondataimban sem találtam olyant, ami „philosophische Fragen” -nek tekinthető.)

Szóval: „Ma már nem tűnik megengedhetőnek, hogy bármely logikailag definiálható fogalom ’terjedelméhez’ ’halmazt’ vagy ’osztályt’ rendeljünk.”

Tehét terjedelem (=gyűjtemény) van, de az mégsem halmaz. Ha már így állunk, akkor érdemes megfigyelni, hogy a Részhalmaz axiómában nincs kihasználva, hogy az T egy halmaz. Emiatt elég lenne, ha csak „terjedelem”, azaz kollekció lenne… de ez messzire vezetne most.

Egy p(x) propozíciós függvény (=logikailag meghatározható fogalom) „terjedelme” az a halmaz, melynek x elemeire (és csak azokra) p(x) igaz.

Jaj de „költői” megfogalmazás: „nem tűnik megengedhetőnek”.

Ez úgy szól, mintha Zermelo egy örök érvényű, objektív és általános törvényszerűséget fedezett volna fel, amit egyelőre csak óvatosan tár a közösség elé. Pedig csak egy saját megoldási javaslatot mond a Russell antinómia feloldására. Általánosnak van kikiáltva, hiszen e megfogalmazás szerint Zermelo nemcsak a Russelli {x | x ∉ x} halmazra korlátozza Cantor korlátlan komprehenziós elve alóli „felmentést”, hanem láthatóan egyéb lehetőséget is megenged. De valójában a Russelli halmazon kívül egyéb példát mégsem mond. (Pl. a most T vel jelölt halmazra is mondhatná ugyanezt.)
Később Zermelo ad is egy bizonyítást arra, hogy az összes halmazok halmaza nem létezik, (mellesleg azzal a bizonyítással, - akaratán kívül, merthogy azt nem említi - azt is bizonyítja, hogy az a bizonyos Russelli halmaz sem létezik.) Azaz Zermelo azt állítja ezzel, hogy az (x∈x) tulajdonság nem kollektivizálható. (Zermelo „ügyesen” válogat: a Russell antinómia megszűnése érdekében úgy alakítja a célhoz igazított axiómarendszerét, hogy a Russelli halmazt ne lehessen „újként definiálni”, ellenben a Cantor bizonyításban lévő, most T-vel jelölt halmaz létezéséhez még egy alátámasztást is ad a korlátos kompressziós axiómaséma által.)
Akkor mi van? Tisztelt tanult vitapartnereim miért nem mondták nekem anno: „Ember, nyitott kapukat döngetsz! Nem kell bizonygatnod, hogy vannak nem-kollektivizálható tulajdonságok: már Zermelo is erről beszél.” Nem ártana tanult barátaimnak elolvasni az eredeti forrásokat. Így van az, ha sok, egymást követő nemzedéken át letisztul egy népmese.

Megjegyzem még
A történelem során ilyen nem-kollektivizálható tulajdonságokkal Cantor előtt nem találkozhattunk. Tapasztalhatjuk, hogy az ilyen tulajdonságok mindegyike kizárólag a Cantor-féle diagonalizációnál bukkan fel. Felbukkanásuk viszont ez esetben nem is csoda, hiszen a Cantor -féle diagonalizáció - önhivatkozás. Pontosabban: U=V esetén az. Az önhivatkozás megsérti a sorrendiségi szabályt. De hiszen erről szól a cikkem ... Érdemes végignézni: a diagonalizációs trükkön alapul a Cantor hatványhalmaz tétel, a valós számok "megszámlálhatatlanságának" Cantor-féle tétele, a Gödel tétel, a Turing tétel, . ..és mind az összes többi végtelenről szóló tételt. És ugyanez mondható el a kapcsolódó antinómiákról: Russell-, borbély-, Richard-, a Berry- stb antinómiák. Az úgynevezett matematika-filozófia mást sem tesz 120 év óta, mint Cantor diagonalizációs trükkjéből adódó problémákon rágódik.

Végül megjegyzem még
A halmazelmélet axiómáinak indoklása alapvetően eltér a matematika többi axiómarendszerének indoklásától. Utóbbiaknál mindig arról van szó, hogy hogyan modellezzük a valóság egy rész-jelenségkörét (pl. a tapasztalati sík vagy tér geometriai viszonyait), vagy a matematika valamely virtuális rész-világát (ld Peano axiómák, test-axiómák). Ehhez a tapasztalatból absztraháljuk az alapfogalmakat és az axiómákat. (Euklidész V, párhuzamossági posztulátuma épp azért volt problémás, mert a végtelenre hivatkozott, amiről nincs tapasztalat. A Peano axiómái a természetes számsorozat tulajdonságainak elemzéséből keletkeztek stb.) Ezekre azután felépítjük az elméletet, és megnézzük, mi jön ki belőle - és nem utolsó sorban: ismét visszatérünk a tapasztalathoz, és megnézzük, elméleti modellünk jól jósolja-e a tapasztalatot.
A halmazelméleti axiómarendszereknél ellenben homlokegyenest másról volt szó: ott a cél szentesíti az eszközt. Ti. az ilyen axiómarendszerek megalkotói, elsőként maga Zermelo, előre kijelölték, mit szeretnének "megmenteni" ( ld. még a teljes cikkben a Hilbertnek tulajdonított kijelentéseket, vagy a Zermelotól vett fenti idézetet.), és ehhez igazították az axiómákat. Cseppet sem zavarta őket az, ami a matematikusokat (köztük Gausst, a két Bolyait apát és fiát, Lobacsevszijt és egyik tanárát, utóbbi ugyanúgy Gauss egyetemi évfolyamtársa volt, mint az idősebb Bolyai) 2 ezer éven át zavarta. Ez így valóban nem több, mint egy öncélú játék az axiómákkal.

****

Reflexióim az elutasításra

Melléérvelés mindenütt

A leveleket elolvasva kiderül, hogy MA első „elutasító” levelében nem az szerepelt indokként, hogy a cikk másról szólna, mint amit előadtam. (Ez nem is lehetett, mert ugyanarról szólt.) Ebben az e-mailben nem is volt valódi indokolás. Csak később sikerült harapófogóval kihúznom MA-ből egy indoklást, ami így szólt: GJ: „...Ezek után nem tudom, mivel indokolod az elutasítását.” MA: „Azzal, hogy a konklúziója hibás…” (Ld. az MAlevelezést, 2010. július 28. 17:43 -t email.)

Eszerint MA a matematikai részben nem talált hibát, hiszen ha talált volna, nyilván azt mondja elsőként. Ennyit a triviális hibáról.

A konklúzióról pedig lehet filozófiai vitát folytatni, de nem matematikait.

MA első e-mailjében csak melléérvelés van. Ebben hivatkozik a saját bizonyítás-verziójára: „Az én verzióm esetében az értékrésre való hivatkozás mindenképpen jogtalan...”. Hát az a bizonyos Hodges - akinek cikkét MA célzatosan mellékelte az e-mailjéhez - éppen az egyik tipikus hibának mondja, hogy az általa lenézett „amatőrök” gyakran egy másik, saját bizonyítást mondanak ellenérvként. És ugyanebben az e-mailben ő maga, MA, képes egy saját ”én verzióm”-mal érvelni? lásd itt

Idézet Hodgestől: „Meglepő volt, hogy a szerzők közül hányan nem vették észre, hogy egy érv megtámadásához valami hibát kell találni abban. Több szerző is úgy vélte, hogy egy bizonyítást egyszerűen azzal lehet cáfolni, hogy valami mást mondunk helyette.” Na igen.

Azt, hogy MA egy saját bizonyítás-verzióval érvel, nem lehet másképp értelmezi, mint hogy ezzel hallgatólagosan elismeri, hogy a tankönyvi, szokásos bizonyításban, amiről a cikkem szól, sikeresen mutattam ki a hibát. Hiszen, ha nem így lenne, akkor mi oka lenne előhozakodni másik bizonyítással?

Mekis ezt mondja a levelezésben: „Mármost az egzisztenciális kvantorral kifejezett létezési állítások nem okoznak értékrést; a "van olyan x, hogy x páros is meg páratlan is" [p&p] mondat a szokásos kontextusokban hamis (mert x egyetlen értékelése sem elégíti ki); a standard elsőrendű szemantika szabályai szerint x-nek ettől függetlenül van értéke.” Mi lenne az x-nek ez az (konkrét!) értéke?

Erre a következő magyarázatot kaptam: GJ: „Meg tudná mondani, mi az x értéke ilyenkor?” Mekis: „Benne van a definícióban. Az, amit az aktuális értékelés x-hez rendel; vagyis a struktúra alaphalmazának tetszőleges eleme.”

Bevallom, én ezt a választ nem értem. A „tetszőleges elem” mióta konkrét, mióta aktuális? Talán úgy kellene ezt érteni, hogy van a természetes számok halmaza, és ezek között (vagy valahol ezen kívül az absztrakt térben?) van egy speciális elem, ami ’a’ „tetszőleges” elem? És vajon [p&p] mondatnak mi az „aktuális értékelése”? (Úgy látszik, Mekis szemletétől nem áll távol az ilyesmi, hiszen még abba a vitába is belemegy, hogy a végtelen páros szám-e, és hogy „Cantor éppen azon fáradozott, hogy lehetővé tegye a végtelen mennyiségekkel való számolást.” )

Egyszer egy kutyaiskola vezetője kirándulás akart szervezni hétvégére a kutyásoknak, kutyákkal együtt persze, a veresegyházi medveotthonba. Valaki megkérdezte: „Miért vigyük oda a kutyákat?” … „Hát...h... hogy szokják a medvéket.”

De azért köszönöm a választ, sokat segít. Ugyanis Mekis a [p&p] mondattal hallgatólagosan szintén elismeri, hogy az érvelésem helyes, hiszen én is, és „Hilberték” is a „szokásos kontextusban” beszélünk a Cantor tétel bizonyításáról. Ott pedig, Mekis által elismerten, van értékrés. (Ne tessék már azt bizonygatni, hogy a valós számok körében van olyan x, melyre 0*x=1, amit majd az „aktuális kiértékelés rendel az x-hez”. )

Aki nem hisz nekem és nem hisz saját eszének sem, csak a külső tekintélyeknek, annak itt egy referencia melyben a szertő azt állítják, hogy a Russell antinómia következtében az összes halmazok halmaza (ezt ott V-vel jelölik) nem létezik: https://plato.stanford.edu/archives/spr2021/entries/russell-paradox “...All the contradiction shows is that “V”is an empty name (i.e., that it has no reference, that V [the whole universe of sets] does not exist)…”.

Azaz, ha indirekte feltételezzük, hogy az összes halmazok V halmaza létezik, akkor előáll a Russelli circulus vitiosus; ez abszurdum, tehát a V halmaz nem létezik. Akkor mi a gond következővel : Ha indirekte feltételezzük, hogy M ekvivalens 2^M -mel, akkor előáll egy circulus vitiosus; ez abszurdum, tehát nem létezik az a bizonyos T átló-halmaz. Ez egymagában nem ellentmondás. Csak akkor keletkezik ellentmondás, ha ennek ellenére a ZFC-ben ragaszkodunk a T átlóhalmaz létezéséhez. És akkor egy bizonyított állítás áll szemben egy kimondottan e célhoz igazított, mesterséges axiómával - Cantor elméletében pedig egy kellően át nem gondolt elvvel. A Russell antinómia esetében a ZFC-ben nem ragaszkodunk a Russelli átlóhalmaz létezéséhez, ezáltal a circulus vitiosus megszűnik (mivel ekkor a benne szereplő mondatok nem állítások, csak üres kijelentő mondatok). Cantor tétel esetében, a ZFC-ben, ragaszkodunk a T átlóhalmaz létezéséhez, ekkor valóban csak az a feloldás marad, hogy B nem bijektív. De ezt a ragaszkodást milyen megfontolás, milyen filozófia indokolja - hacsak a cél szentesíti az eszközt elvet nem tekintjük filozófiai elvnek. (ld. alább, és ld. a cikkemben a Neumann Jánostól vett idézetet.)

A sokat magasztalt Zermelo -féle részhalmaz (azaz korlátos komprehenziós) axiómaséma pedig csak egy fedősztori: azzal, hogy Zermelo a korlátlan komprehenziós elvet helyettesítette a korlátossal, „végtelen sok” olyan konkrét axiómát kidobott a rendszeréből, ami még Cantoréban benne volt, és egyúttal – észrevétlenül, mint egy ügyes bűvész a nyulat - kidobta azt is, hogy „R-axioma: az {x| x nem eleme x-nek} halmaz létezik”. Elég lett volna csak ezt az R-axiómát kidobni, és el van intézve. (Azzal érvelni, hogy a leválasztási axiómaséma következménye a helyettesítésinek, felesleges, mert ekkor a leválasztási axiómaséma egy tétel, és így ugyanaz van, amit előbb mondtam. Érthetetlen, hogy Zermelo 1930-as cikkében miért hagyta benn mindkettőt. Ott azzal védekezik, hogy most nem célja a függetlenség elemzése.)

Félreolvasás mindenütt

A cikkben - pont azért, mert számítottam a félreolvasásra, de ezek szerint az sem volt elég - egy explicit mondattal világossá teszem, hogy kimondottan a szokásos, tankönyvi Cantort-tétel bizonyítással foglalkozom, ami abból az indirekt hipotézisből indul, hogy bármely halmaz és hatványhalmaza között létezik bijektív leképezés. Ugyanilyen célból egy másik explicit mondatot is betettem a cikkbe, miszerint nem a Cantor tételt akarom cáfolni, hanem a szokásos, tankönyvi bizonyításban mutatok ki egy hibát. Ehhez képest MA már azt a címet adja a posztjának, hogy „Hamis a Cantor tétel”, és örökmozgókról, meg sarlatán csodadoktorokról beszél - akiknek egyike éppen én vónék. Aztán később, mikor a honlapomon ismét kihangsúlyoztam, hogy nem magát a Cantor tételt cáfolom, MA a posztjában a klasszikus „fogpiszkálós” székely viccel jött elő, mintha éppen akkor szerzett volna erről tudomást. MA olvasási képessége meglehetősen szelektív.

Itt jegyzem meg, hogy ez a tétel nem „egy apró kis tétel, ami rendszeresen izgatja arravaló emberek fantáziáját”, hanem már a kezdetektől fogva sokan próbáltak rajta fogást találni: egy bűvésztrükköt láttak benne, amit a benne lévő önhivatkozás képvisel. Russell (ő is „arravaló” lenne?) leírja , hogy annak idején ő úgy jött rá a Russell antinómiára, hogy megpróbált hibát találni a Cantort-tétel bizonyításában. A következő mondat MA posztjában pedig a csodálkozását kifejező „döbbenetes” jelző miatt történelmi ismerethiányról árulkodik:”[ennek] van még egy oka, és ez a Russell-paradoxon levezetése, ami a mi 3. lépésünkhöz döbbenetesen hasonló okfejtéssel, de minden (látható) indirekt feltevés nélkül mutat ki ellentmondást Cantor eredeti (ma úgy mondjuk: naiv) halmazelméletében.” Az előzőek fényében semmi „döbbenetes” nincs ebben a hasonlóságban, hiszen a Cantor diagonalizációból jött a Russell antinómia ötlete. (És a Burali-Forti, és a Richard…) De erről is írok a cikkemben, a Russell és egyéb antinómiákat a Cantor-féle átlós eljárás paródiájának minősítve.

Mellesleg, két indirekt feltevés is van a Russell anitómiában: tegyük fel, hogy R eleme R-nek…., tegyük fel, hogy R nem eleme R-nek… és mindkettő az ellenkezőjére jut. A Russell antinómia nemhogy nem indirekt bizonyítás, hanem éppen hogy egy dupla (reduction ad absurdum típusú) indirekt bizonyítás. Emiatt forog körbe – körbe: circulus vitiosus. A „normál” indirekt bizonyítás fél fordulat után leáll. A Cantor tétel szokásos bizonyítása is egy végtelen körforgásba fut be. Egy olyan gép, ami nem tud a saját tevékenységére kintről ránézni, itt egy logikai „fekete lyukba” esik: sose fog abból kikerülni és azzal leállni, hogy „cáfoltam az indirekt hipotézist”.

A cikkemet azzal kezdem, hogy Cantor-korabeli érvelést fogok használni. Teszem ezt annak érdekében, hogy kiderüljön: már az akkori eszközökkel kiderülhetett volna, hogy hibás Cantor érvelése az „alefek” terén, emiatt pedig „Hilberték” (azóta látom, hogy inkább Zermelóé az érdem e téren, és ott van még Fraenkel és Skolem) nem mentettek meg semmit. (Idézet a cikkemből: „Megmenteni csak azt lehet, ami előtte már létezett, így jogosan vethető fel a kérdés: az ún. »naiv halmazelmélet« keretein belül hibátlan-e a Cantor féle hatványhalmaz tétel bizonyítása?”. De olvasd tovább is, pl a „Előadásomban virtuális időutazásra invitálok a ..” bekezdést,)

Nem is lenne korrekt „Hilbertékkel” szemben a „modern matematikai standard” szerint érvelni, hiszen az akkor még nem létezett. Ezek után az én kedves barátaim, mintha el sem olvasták volna a cikk eme részleteit (talán így is volt), behúztak engem a saját utcájukba, hogy az ő logikájuk, a „ A modern matematikai standardban” stílusában érveljek velük szemben.

Ez az utcába húzás sikerült is nekik. De nem gondolom, hogy szándékosan és tudatosan tették volna. Ők így működnek. Én pedig nem voltam eléggé résen, és bele mentem annak kimutatásába, hogy az alternatív, általuk javasolt bizonyítás ekvivalens a „szokásossal”.

Ezt utóbbi egyébként továbbra is tartom, de az előbbiek fényében ez már irreleváns. Ld. még alább alább, ahol felsorolok egy tucatnyi dolgozatot, melyek között 8 olyan könyv van, ahol az általam idézett szokásos módon bizonyítják a Cantor tételt (bijektív leképezés feltételezéséből indulnak), a többi meg vegyes. MA bizonyításával megegyezőt, amikor tetszőleges leképezésből indul, egyetlen szakirodalmi referenciát találtam. (Ő maga egyet sem mondott, hiába kértem.)

Megelégelve MA sok mellébeszélését a vele történt levelezés során, a teljes vele folytatott levelezést elküldtem arra az email listára, amit még kezdetekkor Mekis benne hagyott a felkérő e-mailben. Nem sokkal ez után MA egy lejárató posztot indított rólam a Szkeptikus blogon . Erről valóban értesített engem, utólag, „itt vitatkozhatsz, ha akarsz” felszólítással, de miután már a poszt eleje egyből durva személyeskedés volt ellenem, nem vettem benne rész.

Például ez a mondat van már az elején: »De azt azért elmondanám, hogy a csodadoktorokra jellemző „tudásszociológiai” érvrendszer itt is előkerült: a hivatalos tudományt” vádoló összeesküvéselmélet, személyes (oktatói, megélhetési) érdekeltségünk a megszokottban, aminek folytán nem bírjuk elismerni az újat, emellett egyéb személyeskedés, gyanúsítgatás, inszinuáció – nem értem, miért.«
Ez egyszerűen rágalom. Semmi konkrétum, csak általános minősítgetés. Én soha nem mondtam, se nem írtam olyanokat, amiket így lehetne értelmezni. Ha MA így gondolja, akkor tessék konkrétan elmondani: itt és itt, ekkor és ekkor, GJ ezt és ezt mondta vagy írta. Szóbeli kommunikáció köztünk mindig sok ember előtt, az előadásokon történt, és ott nem hangzott el ilyen. Az összes releváns emailt pedig fent el lehet olvasni: azokban nincs ilyen. Miért gondolta MA, hogy egy ilyen szánalmas boszorkányüldözésben - mint üldözött boszorkány - részt fogok venni ? ( Akiit boszorkánysággal vádolnak, az minél inkább védekezik, annál inkább rá lehet fogni, hogy boszorkány: látjátok, miket mond? minden boszorkány így védekezik.)

Én sosem személyeskedtem MA-val, ld. az e-maileket. Ellenben ő volt az, aki az első, „elutasító” e-mailjéhez, nem minden célzatosság nélkül, mellékelte bizonyos Hodgesnek a cikkét melyben ez szerző összegyűjtötte a szerkesztői munkássága során hozzá beküldött, általa hibásnak minősített Cantor-tétel cáfolatokat. Hodges ezeket a szerzőket amatőrnek és munkájuka, szó szerint szemétnek minősítette, és fölényesen elmondta, hogy örülhetnek, hogy egy igazi matematikus elolvasta a zagyvaságaikat. MA célzása egyértelmű, nem is részletezem. De megjegyzem: én nem egy Cantor tétel cáfolatot mutattam, csak hibát mutattam ki a szokásos bizonyításban. A hiba kimutatásának hibájára senki nem mutatott rá. MA és Mekis csak elővettek helyette egy szalmabábot, ld. fentebb. A többiek, akik egyet értetttek velük a blogon, csak fújták a trombitát, és ha valaki rákérdezett: mondd meg konkrétan, hol a hiba, elpárologtak. (Akik velem értettek egyet és értették is, miről beszélek, azok érdemben érveltek.)

Mekis is MA-hoz hasonlót mond rólam a blogban . (Emellett nem igaz, hogy elmagyarázták volna többen és többször az állítólagos hibámat. A melléérvelés és félreolvasás nem magyarázat. Ld. fent.) Évekkel később Mekisen számon kértem a rágalmait. Elolvasta a levelezésünket és bevallotta, hogy nem talál benne olyant, amit állít. Vele sem volt egyéb kommunikációm a fenti e-maileken kívül.

Utolsó módosítás: 2025-12-16

Geier János

Ennek a lapnak Ön a . látogatója 2025.december 15. óta.